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The real line carries a standard topology which can be introduced in two different, equivalent ways. First, since the real numbers are totally ordered , they carry an order topology.

Second, the real numbers inherit a metric topology from the metric defined above. The order topology and metric topology on R are the same.

As a topological space, the real line is homeomorphic to the open interval 0, 1. The real line is trivially a topological manifold of dimension 1.

Up to homeomorphism, it is one of only two different connected 1-manifolds without boundary , the other being the circle.

It also has a standard differentiable structure on it, making it a differentiable manifold. Up to diffeomorphism , there is only one differentiable structure that the topological space supports.

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For the real numbers, the latter is the same as the finite complement topology. The real line is a vector space over the field R of real numbers that is, over itself of dimension 1.

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The standard norm on R is simply the absolute value function. The real line carries a canonical measure , namely the Lebesgue measure.

This measure can be defined as the completion of a Borel measure defined on R , where the measure of any interval is the length of the interval.

Lebesgue measure on the real line is one of the simplest examples of a Haar measure on a locally compact group. Similarly, the algebra of quaternions.

In this way the real line consists of the fixed points of the conjugation. From Wikipedia, the free encyclopedia.

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